# 高考数学导数公式与题型闪卡：单调性、极值与切线 ![深蓝网格背景上，一条珊瑚色抛物线在最低点与浅蓝色水平切线相切，切点以金色标出。]() 按真实前置关系先引入基础，再将公式、切线、单调性、极值与区间最值、含参与证明交错穿插，练习高考导数中的公式回忆、条件判断和题型入口；不收录真题、评分细则、课程标准原文或超出高中范围的系统微积分内容。 من إعداد [Open Study Contributor]() [ادرس هذه الرزمة مجانًا]() سيفتح تطبيق Nibomo لتبدأ الدراسة\. ## تفاصيل الرزمة - البطاقات: ٧٦ بطاقة - الإصدار: ١ - تاريخ النشر: ٣٠ أغسطس ٢٠٢٦ - آخر تحديث: ١٠ سبتمبر ٢٠٢٦ - الترخيص: Common knowledge · CC0 1\.0 - لغات الجمهور: [zh]() - المادة: 数学 - المستوى: 高考数学 - الوسوم: 高考导数, 求导基础, 切线, 单调极值, 含参与证明 ## حول هذه الرزمة 这套 76 张简体中文闪卡把高考导数复习拆成可独立提取的小步骤。导数定义、常用求导公式、复合与四则运算及其适用条件先于依赖它们的应用出现；之后把公式与短计算、切线斜率、点斜式、未知切点与外点条件、导数符号表、单调区间、极值、闭区间最大值与最小值、含参分类、恒成立不等式、辅助函数和零点个数按前置关系交错穿插。卡片同时覆盖定义域、端点、重根、不可导临界点、严格递增条件、参数退化与等号点等常见易错处。 学习顺序由前置关系带动：基础定义和规则先于依赖它们的应用，公式与短计算、切线、函数性质、含参与证明提示随后穿插；易混提示之间用至少三张与两端都无提示关系的卡隔开。每张卡只要求回忆一个公式、条件或方法入口，并在需要时附一个原创微例；适合先顺序学习，再按记忆调度复习。 本套不映射具体年份、地区、卷别、题号、教材页码、商业课程章节、现成题库答案或评分点，也不声称覆盖竞赛微积分、严格极限理论、积分、微分方程或完整函数专题。参数与不等式部分只训练高中导数范围内的方法选择，不复制整道练习题。 本套为独立编写的非官方学习资料，与教育部、考试命题机构、教材出版单位或任何培训平台无隶属、授权或背书关系；未复制任何考试题、评分细则或课程标准原文。范围核对依据见[教育部《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》通知](https://www.moe.gov.cn/srcsite/A26/s8001/202006/t20200603_462199.html)。 ## رزم مشابهة - [算法面试模式闪卡：双指针、滑动窗口、图与动态规划]() - [CFA Level III 投资组合管理路径闪卡：核心与路径复习]() - [日语五十音图闪卡：平假名、片假名与罗马音]() - [考研英语（一）核心词汇闪卡｜词义、搭配与语境]() - [教师资格证科目一《综合素质》核心考点闪卡]() - [大学英语四级（CET\-4）核心词汇闪卡：中文释义与例句]() ## بطاقات هذه الرزمة ### البطاقة ١ **السؤال** 函数 $f$ 在 $x_0$ 处的导数定义式？ **الإجابة** 若极限存在，导数为： $$ f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} $$ ### البطاقة ٢ **السؤال** 简单复合函数 $f(ax+b)$ 怎样求导？ **الإجابة** $[f(ax+b)]'=a f'(ax+b)$。先对外层求导，再乘内层 $ax+b$ 的导数 $a$。 ### البطاقة ٣ **السؤال** $(\sin x)'$ 是什么？ **الإجابة** $(\sin x)'=\cos x$。这里的角度使用弧度制。 ### البطاقة ٤ **السؤال** 乘积 $uv$ 怎样求导？ **الإجابة** $(uv)'=u'v+uv'$。不能写成 $u'v'$。 ### البطاقة ٥ **السؤال** $(e^x)'$ 是什么？ **الإجابة** $(e^x)'=e^x$。它的导数仍是自身。 ### البطاقة ٦ **السؤال** 幂函数 $x^n$ 的导数？ **الإجابة** $(x^n)'=nx^{n-1}$，在原函数有定义且可导的范围内使用。 ### البطاقة ٧ **السؤال** 求导或列导数符号表之前，第一步检查什么？ **الإجابة** 先写原函数的定义域。分母、根式和对数会切断区间，也会限制临界点是否有效。 ### البطاقة ٨ **السؤال** 题目给出的“切点”坐标要先核对什么？ **الإجابة** 核对它确实在曲线上，即 $y_0=f(x_0)$。不在曲线上的给定点通常只是切线经过的外点。 ### البطاقة ٩ **السؤال** $f(x)=x^2e^x$ 的导数？ **الإجابة** $f'(x)=e^x(x^2+2x)$。由乘积法则得 $2xe^x+x^2e^x$。 ### البطاقة ١٠ **السؤال** 函数在一点可导，能推出什么连续性结论？ **الإجابة** 可导必连续。反过来不成立，例如 $f(x)=|x|$ 在 $0$ 处连续但不可导。 ### البطاقة ١١ **السؤال** $\sin(2x+1)$ 求导时应识别哪条规则？ **الإجابة** 简单复合函数求导。结果是 $2\cos(2x+1)$，内层导数 $2$ 必须乘上。 ### البطاقة ١٢ **السؤال** $(\ln x)'$ 是什么？ **الإجابة** $(\ln x)'=\frac1x$，条件是 $x>0$。 ### البطاقة ١٣ **السؤال** 商 $\frac{u}{v}$ 怎样求导？ **الإجابة** $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$，并且 $v\ne0$。分子次序不要颠倒。 ### البطاقة ١٤ **السؤال** $f'(x_0)$ 在几何上表示什么？ **الإجابة** 曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x_0,f(x_0))$ 处切线的斜率，前提是该点可导。 ### البطاقة ١٥ **السؤال** 指数与对数求导公式中的底数 $a$ 要满足什么条件？ **الإجابة** $a>0$ 且 $a\ne1$。这样 $a^x$ 与 $\log_a x$ 都按高中基本函数约定成立。 ### البطاقة ١٦ **السؤال** $f(x)=(3x-2)^5$ 的导数？ **الإجابة** $f'(x)=15(3x-2)^4$。外层给出 $5(3x-2)^4$，再乘内层导数 $3$。 ### البطاقة ١٧ **السؤال** $f(x)=\frac{\ln x}{x}$ 的导数？ **الإجابة** $f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}$，定义域为 $x>0$。 ### البطاقة ١٨ **السؤال** 求出 $f'(x)$ 后，进入函数性质分析前检查哪三件事？ **الإجابة** 检查定义域、化简或因式分解、以及求导规则中的条件。这样才能正确找分界点并判断符号。 ### البطاقة ١٩ **السؤال** 局部极值与区间最值有什么区别？ **الإجابة** 局部极值只比较某点附近；最大值、最小值要比较整个指定区间。局部极大值不一定是区间最大值。 ### البطاقة ٢٠ **السؤال** 和差与常数倍怎样求导？ **الإجابة** $(u\pm v)'=u'\pm v'$，$(Cu)'=Cu'$。先逐项求导，再保留原来的线性组合。 ### البطاقة ٢١ **السؤال** 在区间 $I$ 上有 $f'(x)>0$，可得什么单调性？ **الإجابة** $f$ 在 $I$ 上严格递增。若 $f'(x)<0$，则严格递减。 ### البطاقة ٢٢ **السؤال** $(\cos x)'$ 是什么？ **الإجابة** $(\cos x)'=-\sin x$。负号不能漏，角度使用弧度制。 ### البطاقة ٢٣ **السؤال** $(a^x)'$ 是什么？ **الإجابة** $(a^x)'=a^x\ln a$。高中指数函数通常取 $a>0$ 且 $a\ne1$。 ### البطاقة ٢٤ **السؤال** 连续函数在闭区间上一定有什么最值结论？ **الإجابة** 一定能取得最大值和最小值。这个结论保证最值存在，但具体位置仍需计算候选点。 ### البطاقة ٢٥ **السؤال** 用导数列符号表的基本步骤？ **الإجابة** 写定义域，求并化简 $f'$，找 $f'=0$ 或导数不存在的分界点，按顺序分区间判断正负。 ### البطاقة ٢٦ **السؤال** 曲线在横坐标 $x_0$ 处的切线斜率？ **الإجابة** $k=f'(x_0)$。还要确认 $x_0$ 在定义域内且函数在该点可导。 ### البطاقة ٢٧ **السؤال** $\left(\frac1x\right)'$ 是什么？ **الإجابة** $\left(\frac1x\right)'=-\frac1{x^2}$，条件是 $x\ne0$。 ### البطاقة ٢٨ **السؤال** “极值点”和“极值”分别指什么？ **الإجابة** 极值点通常指横坐标 $x_0$；极值指函数值 $f(x_0)$。答题时不要把点、横坐标和函数值混写。 ### البطاقة ٢٩ **السؤال** 可导函数在内部点 $x_0$ 取得极值，有什么必要条件？ **الإجابة** $f'(x_0)=0$。这只是必要条件，不是充分条件。 ### البطاقة ٣٠ **السؤال** $(\log_a x)'$ 是什么？ **الإجابة** $(\log_a x)'=\frac{1}{x\ln a}$，其中 $x>0$、$a>0$ 且 $a\ne1$。 ### البطاقة ٣١ **السؤال** $f'(x)=(x-1)(x+2)$ 时，$f$ 的单调区间？ **الإجابة** 递增区间为 $(-\infty,-2)$、$(1,+\infty)$，递减区间为 $(-2,1)$。符号顺序是正、负、正。 ### البطاقة ٣٢ **السؤال** 曲线切线与直线 $y=kx+b$ 平行时，应列什么条件？ **الإجابة** $f'(t)=k$，其中 $t$ 是切点横坐标。再用切点坐标求所需方程或参数。 ### البطاقة ٣٣ **السؤال** 函数在 $x_0$ 连续，并在 $x_0$ 两侧的相邻开区间可导；一阶导数怎样判定极大值与极小值？ **الإجابة** $f'$ 在 $x_0$ 左侧为正、右侧为负时，$x_0$ 是极大值点；左侧为负、右侧为正时，$x_0$ 是极小值点；两侧符号不变时不是极值点。 ### البطاقة ٣٤ **السؤال** 切线经过给定点时，能直接用该点横坐标计算 $f'$ 吗？ **الإجابة** 不能，除非该点已确认是切点。一般要另设切点 $t$，再用共点方程求解。 ### البطاقة ٣٥ **السؤال** 定义域被断点分开时，单调区间怎样处理？ **الإجابة** 分别在每个连通区间判断，不能跨过不在定义域内的点合并单调区间。 ### البطاقة ٣٦ **السؤال** 曲线 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 处的切线方程？ **الإجابة** 切线方程是： $$ y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0) $$ ### البطاقة ٣٧ **السؤال** 求连续函数在闭区间 $[a,b]$ 上的最值，候选值来自哪里？ **الإجابة** 来自区间内部的有效临界点和两个端点。算出这些函数值后统一比较。 ### البطاقة ٣٨ **السؤال** 可导函数在区间上递增，对导数有什么必要条件？ **الإجابة** $f'(x)\ge0$。递增不要求每一点都有 $f'(x)>0$，例如 $x^3$ 在 $0$ 处导数为零。 ### البطاقة ٣٩ **السؤال** 同一函数有两个分开的递增区间，答案可写成它们的并集吗？ **الإجابة** 通常分别写两个递增区间，不用并集符号把它们说成一个单调区间。单调性是在单个区间内比较任意两点。 ### البطاقة ٤٠ **السؤال** $y=x^2$ 在 $x=1$ 处的切线方程？ **الإجابة** $y=2x-1$。切点是 $(1,1)$，斜率是 $f'(1)=2$。 ### البطاقة ٤١ **السؤال** $f(x)=x^3-3x$ 的极值？ **الإجابة** 在 $x=-1$ 处取极大值 $2$，在 $x=1$ 处取极小值 $-2$。导数为 $3(x-1)(x+1)$。 ### البطاقة ٤٢ **السؤال** 用导数研究单调、极值和闭区间最值的推荐顺序？ **الإجابة** 定义域 → 求导并分解 → 找分界点 → 列符号表 → 对不可导点检查连续性或直接比较点值 → 写单调与极值 → 加入端点比较最值。 ### البطاقة ٤٣ **السؤال** $f'(x)\ge0$ 能否直接推出 $f$ 严格递增？ **الإجابة** 只能先推出单调不减。若还知道 $f$ 不在任何子区间上恒为常数，例如导数仅在孤立点取零，才可判严格递增。 ### البطاقة ٤٤ **السؤال** 含参导数题开始分类前，先检查哪种退化？ **الإجابة** 先检查参数是否让最高次项、分母或关键因子消失。退化值会改变方程次数、定义域或分界点数量，必须单列。 ### البطاقة ٤٥ **السؤال** 曲线在 $t$ 处的切线经过外点 $(x_P,y_P)$，核心方程？ **الإجابة** $y_P-f(t)=f'(t)(x_P-t)$。未知量是切点 $t$，不是直接把外点横坐标代入导数。 ### البطاقة ٤٦ **السؤال** $(\sqrt{x})'$ 是什么？ **الإجابة** $(\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$，求导公式适用于 $x>0$；原函数在 $x=0$ 有定义，但该点不可导。 ### البطاقة ٤٧ **السؤال** $f'$ 的偶重零点通常怎样影响符号？ **الإجابة** 通常不改变符号。若分解后含 $(x-a)^2$ 且其余因子在 $a$ 附近不变号，$a$ 不是由一阶导数判出的极值点。 ### البطاقة ٤٨ **السؤال** 用导数证明函数在区间上单调，最短论证链是什么？ **الإجابة** 写明区间与可导性，求 $f'$，证明其在整个区间恒正或恒负，再给出严格递增或递减结论。 ### البطاقة ٤٩ **السؤال** 证明 $L(x)\ge R(x)$ 的常用导数入口？ **الإجابة** 构造 $F(x)=L(x)-R(x)$，再证明 $F$ 的最小值不小于零。先找等号点，常能看出应研究的临界点。 ### البطاقة ٥٠ **السؤال** $f(x)=x^2-2x$ 在 $[0,3]$ 上的最大值与最小值？ **الإجابة** 最小值为 $-1$，在 $x=1$ 处取得；最大值为 $3$，在 $x=3$ 处取得。比较 $f(0)=0$、$f(1)=-1$、$f(3)=3$。 ### البطاقة ٥١ **السؤال** 切点横坐标未知、切线斜率已知时，先解什么方程？ **الإجابة** 先解 $f'(t)=k$。每个有效解 $t$ 都要回代点斜式，可能得到不止一条切线。 ### البطاقة ٥٢ **السؤال** 临界点一定是极值点吗？ **الإجابة** 不一定。临界点是函数定义域内使 $f'=0$ 或导数不存在的点；它只是极值候选点，应直接比较点值与附近函数值；若该点连续，也可检查两侧单调性。 ### البطاقة ٥٣ **السؤال** 二次式 $q(x)=Ax^2+Bx+C$ 对所有实数恒非负的条件？ **الإجابة** 若 $A>0$，需 $\Delta=B^2-4AC\le0$；退化时还可有 $A=B=0$ 且 $C\ge0$。其余一次或开口向下情形不能恒非负。 ### البطاقة ٥٤ **السؤال** 怎样用单调性证明方程 $F(x)=0$ 至多一根？ **الإجابة** 证明 $F$ 在目标区间严格单调。严格单调函数不可能在两个不同点都取零。 ### البطاقة ٥٥ **السؤال** 构造不等式辅助函数时，等号点有什么用？ **الإجابة** 等号点通常应让辅助函数取零，并常对应导数为零的最值点。用它校准作差方向和待证最值。 ### البطاقة ٥٦ **السؤال** $f'(x_0)=0$ 是否足以说明 $x_0$ 是极值点？ **الإجابة** 不足。例如 $f(x)=x^3$ 有 $f'(0)=0$，但导数在 $0$ 两侧都非负，$0$ 不是极值点。 ### البطاقة ٥٧ **السؤال** 参数变化使导数方程出现重根时，为什么常是分类边界？ **الإجابة** 重根对应两个分界点合并，导数符号结构可能从“两次变号”变成“不变号”。因此判别式为零或根重合要单独检查。 ### البطاقة ٥٨ **السؤال** 常数函数 $f(x)=C$ 的导数？ **الإجابة** $f'(x)=0$。常数不随 $x$ 变化，瞬时变化率为零。 ### البطاقة ٥٩ **السؤال** 函数图象有一条切线，能否直接断言图象总在切线同一侧？ **الإجابة** 不能。相切只给局部共点同斜率；全局大小关系还要对两式作差，再用单调性或最值证明。 ### البطاقة ٦٠ **السؤال** 怎样用极值结构判断方程 $f(x)=c$ 的实根个数？ **الإجابة** 先求 $f$ 的单调区间和极值，再比较水平线 $y=c$ 与各段值域。根数等于有效交点数。 ### البطاقة ٦١ **السؤال** 闭区间端点会成为最大值或最小值候选吗？ **الإجابة** 会。端点不需要满足 $f'=0$，但必须与区间内部候选点的函数值一起比较。 ### البطاقة ٦٢ **السؤال** $f'(x)=(x-2)^2$ 的符号能说明什么？ **الإجابة** $f$ 在全体实数上严格递增；$f'(2)=0$，但导数在 $2$ 两侧都为正，所以 $x=2$ 不是极值点。 ### البطاقة ٦٣ **السؤال** 两条非竖直直线垂直时，斜率满足什么关系？ **الإجابة** $k_1k_2=-1$。用于切线题时先写 $f'(t)k=-1$，并留意竖直线等特殊情况。 ### البطاقة ٦٤ **السؤال** $f_a(x)=g(x)-a$ 的零点问题可怎样看参数 $a$？ **الإجابة** 把它改写成 $g(x)=a$，即水平线 $y=a$ 与 $y=g(x)$ 的交点问题。先求 $g$ 的值域和极值。 ### البطاقة ٦٥ **السؤال** 函数在开区间上连续，是否一定能取得最大值和最小值？ **الإجابة** 不一定。例如 $f(x)=x$ 在 $(0,1)$ 上既没有最大值也没有最小值：所有函数值都严格介于 $0$ 与 $1$ 之间。 ### البطاقة ٦٦ **السؤال** 含参导数的零点已求出后，还要比较什么？ **الإجابة** 比较各根的大小，并检查它们是否落在原定义域或指定区间内。根序变化与越过端点都可能产生新的参数分界。 ### البطاقة ٦٧ **السؤال** 怎样用导数证明 $e^x\ge x+1$？ **الإجابة** 令 $F(x)=e^x-x-1$。有 $F'(x)=e^x-1$，所以 $F$ 在 $x=0$ 处取最小值 $0$，等号仅在 $x=0$。 ### البطاقة ٦٨ **السؤال** 多项式 $f$ 在全体实数上严格递增，可怎样转化为导数条件？ **الإجابة** 常转化为 $f'(x)\ge0$ 对所有实数成立，并排除 $f'$ 在某个区间恒为零。不要把必要条件误写成处处 $f'(x)>0$。 ### البطاقة ٦٩ **السؤال** 函数有定义但导数不存在的内点，要不要检查极值？ **الإجابة** 要。它是临界候选点，应直接比较点值与附近函数值；只有已知该点连续时，才能用两侧单调性判断。 ### البطاقة ٧٠ **السؤال** 含参分类讨论结束前，应复查哪些边界值？ **الإجابة** 复查最高次项消失、判别式为零、根重合、根碰到定义域或区间端点，以及不等号取等的参数值。 ### البطاقة ٧١ **السؤال** 直线 $y=kx+b$ 与曲线 $y=f(x)$ 相切，可怎样反求参数？ **الإجابة** 设切点横坐标为 $t$，联立 $f'(t)=k$ 与 $f(t)=kt+b$。两个条件分别锁定斜率和共点。 ### البطاقة ٧٢ **السؤال** 怎样用导数证明 $\ln x\le x-1$？ **الإجابة** 令 $F(x)=x-1-\ln x$，$x>0$。有 $F'(x)=1-\frac1x$，所以 $F$ 在 $x=1$ 处取最小值 $0$，等号仅在 $x=1$。 ### البطاقة ٧٣ **السؤال** 闭区间最值题中，找到极值后为什么还不能停？ **الإجابة** 极值是局部结论。还要计算所有有效临界点和端点的函数值，再比较全区间最大值与最小值。 ### البطاقة ٧٤ **السؤال** 证明方程在区间内恰有一根，需要哪两部分？ **الإجابة** 先用连续性和端点异号等条件证明至少一根，再用严格单调性证明至多一根。存在性与唯一性缺一不可。 ### البطاقة ٧٥ **السؤال** $f_a'(x)=x-a$，要使 $f_a$ 在 $[0,2]$ 上单调不减，$a$ 的范围？ **الإجابة** $a\le0$。需要 $x-a\ge0$ 对每个 $x\in[0,2]$ 成立，其最小值是 $-a$。 ### البطاقة ٧٦ **السؤال** 函数 $f$ 在 $0$、$2$ 处连续，并在 $(-\infty,0)$、$(0,2)$、$(2,+\infty)$ 上可导；若 $f'$ 在两侧区间为正、中间区间为负，$f$ 怎样变化？ **الإجابة** $f$ 先增、后减、再增；$0$ 是极大值点，$2$ 是极小值点。 --- *[عرض النسخة المنسقة HTML من هذه الصفحة]()* *يمكن لوكلاء 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