# Отрицание импликации — таблица истинности и задачи
*2026-11-15*
Допустим, в школьной библиотеке действует правило «Если ученику выдали планшет, то в его карточке указали дату возврата». Лена получила планшет, а поле для даты осталось пустым. Одного такого случая достаточно, чтобы показать, что правило нарушили.
В высказывании «если `p`, то `q`» первая часть — условие `p`, вторая — заключение `q`. Чтобы записать **отрицание импликации**, сохраните условие, отрицайте заключение целиком и соедините части словом «и». Получится «`p` и не `q`». В примере это «Лене выдали планшет, и дату возврата в её карточке не указали».
**`¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q`**
Знак `¬` означает «не», `∧` — «и», а `≡` показывает, что обе формулы принимают одинаковые значения во всех строках таблицы.
## Когда импликация ложна
Импликация `p → q` ложна только при `p = 1` и `q = 0`. Именно так вышло у Лены. Если бы ей не выдали планшет и в карточке тоже не было даты, импликация была бы истинной. Требование указать дату действует при выдаче планшета. [Таблица истинности импликации в учебнике OpenStax](https://openstax.org/books/contemporary-mathematics/pages/2-4-truth-tables-for-the-conditional-and-biconditional).
Здесь `1` означает истину, `0` — ложь. Чтобы получить столбец `¬(p → q)`, замените каждую единицу в столбце `p → q` на ноль, а каждый ноль — на единицу. Сравните результат со столбцом `p ∧ ¬q`.
| `p` | `q` | `p → q` | `¬(p → q)` | `p ∧ ¬q` | `p → ¬q` |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
## Проверьте, к чему относится отрицание
В записи `p → ¬q` знак `¬` относится только к заключению. Получается «Если Лене выдали планшет, то дату возврата в её карточке не указали». При `p = 0` эта формула даёт единицу в обеих строках, а отрицание всей импликации — ноль.
Если поменять условие и заключение местами, получится обратное высказывание `q → p` — «Если в карточке Лены указали дату возврата, то ей выдали планшет». При `p = 0` и `q = 0` оно даёт единицу, тогда как `¬(p → q)` даёт ноль.
Значения остальных связок можно освежить по [таблицам конъюнкции, дизъюнкции и отрицания](/ru/blog/truth-values-conjunction-disjunction/). Чтобы применить строку `1 → 0` внутри более длинной формулы, попробуйте [задачу на порядок столбцов в таблице истинности](/ru/blog/ege-informatics-truth-table-columns/).
## Найдите контрпример к утверждению «для каждого»
В таблице одна строка задаёт значения `p` и `q`. Если правило начинается со слов «для каждого `x`», значения обеих частей зависят от выбранного `x`. Чтобы опровергнуть правило, найдите хотя бы один объект из указанного множества, для которого условие истинно, а заключение ложно. Такой объект называется **контрпримером**. Поэтому отрицание «для каждого» начинается со слов «существует хотя бы один». [Разбор отрицаний в руководстве Стэнфорда по доказательствам](https://web.stanford.edu/class/cs103/guide_to_proofs).
В библиотечном примере правило можно сформулировать для всех учеников. Его отрицание — «Есть хотя бы один ученик, которому выдали планшет и у которого в карточке нет даты возврата». Таким учеником оказалась Лена.
## Три задачи на отрицание импликации
1. «Если 13 — чётное число, то 13 больше 10». Запишите отрицание всего высказывания. Обозначьте условие через `p`, а заключение через `q` и сравните значение отрицания со значением `p → ¬q`.
2. «Если система приняла файл, то в журнале указаны имя файла и время сдачи». Обозначьте принятие файла через `p`, наличие имени через `q`, а наличие времени через `r`. Запишите отрицание так, чтобы знак `¬` стоял только перед отдельными буквами. Будет ли оно истинным, если файл приняли, имя записали, а время сдачи пропустили?
3. «Для каждого целого числа `n` от 1 до 12 верно, что если `n` делится на 3, то `n` нечётно». Сформулируйте отрицание и выпишите все контрпримеры в этом диапазоне.
### Ответы
1. «Число 13 чётное и не больше 10». Здесь `p = 0` и `q = 1`, поэтому `p ∧ ¬q = 0`. Формула `p → ¬q` даёт единицу, поскольку её условие ложно.
2. Получается `p ∧ (¬q ∨ ¬r)`. По закону де Моргана `¬(q ∧ r) ≡ ¬q ∨ ¬r`. Знак `∨` означает «или». Выражение в скобках истинно, когда отсутствует хотя бы одна из двух записей. При `p = 1`, `q = 1` и `r = 0` отрицание истинно. Файл приняли, а время сдачи пропустили.
3. «Существует целое число от 1 до 12, которое делится на 3 и при этом чётно». Кратные трём в этом диапазоне — `3`, `6`, `9` и `12`. Контрпримеры — `6` и `12`. Любого из них достаточно, чтобы опровергнуть утверждение.
## Повторите без таблицы
Назовите по памяти пару значений `p` и `q`, при которой импликация ложна. Затем придумайте своё правило со словами «если…, то…» и запишите случай, который его нарушает. Вернитесь к той же задаче завтра и ещё раз через несколько дней. Когда попытки вспомнить ответ распределены во времени, выученное дольше держится в памяти. [Исследование интервального повторения с проверкой по памяти](https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/21574747/).
Для такой тренировки есть [русскоязычная колода из 30 карточек по таблицам истинности](/ru/catalog/packages/truth-table-practice-flashcards-russian/). В ней есть короткие вопросы на импликацию и отрицание, а также задания, где нужно найти ошибку в строке таблицы.
*Статья и упражнения подготовлены с помощью ИИ. Перебором проверены все строки таблицы, значения в первых двух задачах и числа от 1 до 12 в третьей.*
**Таблицы истинности: карточки по логическим операциям**
30 карточек на русском по таблицам истинности\. Вычисляйте значения выражений с НЕ, И, ИЛИ, импликацией и эквиваленцией, заполняйте пропуски и находите ошибки в строках\.
30 карточек · Языки аудитории: Русский — Russian
[Изучать эту колоду бесплатно]()
---
*[Открыть оформленную HTML\-версию этой страницы]()*
*ИИ-агенты могут создать аккаунт пользователя в этом сервисе, начиная с `GET https://api.nibomo.com/v1/`. После настройки они также могут подключиться по MCP по адресу `https://mcp.nibomo.com/mcp`.*
*Совет: добавьте `.md` к любому URL на https://nibomo.com, чтобы получить чистую Markdown-версию страницы.*