Recurring Decimals to Fractions Flashcards: Patterns & Algebra

ఈ డెక్‌లోని కార్డులు

1. కార్డు 1

   ప్రశ్న

   In 0.2(41), where parentheses repeat forever, which digits repeat?

   సమాధానం

   The block 41 repeats; the first 2 does not. The decimal begins 0.2414141 and continues with 41 forever.

2. కార్డు 2

   ప్రశ్న

   For $x=0.(8)$ (parentheses repeat), what is the smallest power of ten greater than 1 that makes the fractional tail match that of $x$?

   సమాధానం

   $10$. Shifting one place gives $10x=8.\overline{8}$, with the same fractional tail as $x$.

3. కార్డు 3

   ప్రశ్న

   Convert 0.(5) to a fraction in simplest form (parentheses repeat).

   సమాధానం

   $\frac{5}{9}$. With $x=0.\overline{5}$, subtracting $x$ from $10x$ gives $9x=5$.

4. కార్డు 4

   ప్రశ్న

   Why can subtracting two shifted recurring decimals remove all digits after the decimal point?

   సమాధానం

   Their entire fractional parts are equal, so their difference is zero. Match both the repeating block and its starting position before subtracting.

5. కార్డు 5

   ప్రశ్న

   Convert 0.(27) to a fraction in simplest form (parentheses repeat).

   సమాధానం

   $\frac{3}{11}$. With $x=0.\overline{27}$, $100x-x=27$, so $x=\frac{27}{99}=\frac{3}{11}$.

6. కార్డు 6

   ప్రశ్న

   Convert 0.(04) to a fraction in simplest form (parentheses repeat).

   సమాధానం

   $\frac{4}{99}$. The block has two digits, including the zero: $100x-x=4$, so $99x=4$.

7. కార్డు 7

   ప్రశ్న

   Is the finite decimal 0.454545 exactly equal to 0.(45), where parentheses repeat forever?

   సమాధానం

   No. The finite decimal stops after six places; the recurring decimal continues. Their difference is small but nonzero.

8. కార్డు 8

   ప్రశ్న

   Convert 0.(136) to a fraction in simplest form (parentheses repeat).

   సమాధానం

   $\frac{136}{999}$. Three repeating places give $1000x-x=136$. The numerator and denominator have no common factor greater than 1.

9. కార్డు 9

   ప్రశ్న

   For $x=0.3(7)$ (parentheses repeat), which two smallest distinct powers of ten produce matching fractional tails after clearing the non-repeating prefix?

   సమాధానం

   $100x$ and $10x$. They equal $37.\overline{7}$ and $3.\overline{7}$; subtracting cancels the repeating tail.

10. కార్డు 10

    ప్రశ్న

    Convert 0.(72) to a fraction in simplest form (parentheses repeat).

    సమాధానం

    $\frac{8}{11}$. Subtraction gives $99x=72$, then $x=\frac{72}{99}=\frac{8}{11}$.

11. కార్డు 11

    ప్రశ్న

    Convert 0.4(2) to a fraction in simplest form (parentheses repeat).

    సమాధానం

    $\frac{19}{45}$. With $x=0.4\overline{2}$, $100x-10x=42-4=38$, so $x=\frac{38}{90}=\frac{19}{45}$.

12. కార్డు 12

    ప్రశ్న

    A learner writes 0.(06) as 6/9 (parentheses repeat). What denominator should replace 9 before simplification?

    సమాధానం

    $99$. The repeating block is 06, which has two places. Thus $0.\overline{06}=\frac{6}{99}$, not $\frac{6}{9}$.

13. కార్డు 13

    ప్రశ్న

    Convert 0.(125) to a fraction in simplest form (parentheses repeat).

    సమాధానం

    $\frac{125}{999}$. Subtraction gives $999x=125$. This fraction is already in simplest form.

14. కార్డు 14

    ప్రశ్న

    A decimal has one non-repeating digit after the point followed by a two-digit repeating block. What denominator does the standard shift-subtract method give before simplification?

    సమాధానం

    $990$. Use $1000x-10x$, so the coefficient of $x$ is $1000-10=990$.

15. కార్డు 15

    ప్రశ్న

    Convert 0.7(36) to a fraction in simplest form (parentheses repeat).

    సమాధానం

    $\frac{81}{110}$. The matching-tail subtraction is $1000x-10x=736-7=729$. Thus $x=\frac{729}{990}=\frac{81}{110}$.

16. కార్డు 16

    ప్రశ్న

    Write $\frac{5}{11}$ as a decimal, marking the shortest repeating block.

    సమాధానం

    $0.\overline{45}$: the block 45 repeats. Check that $\frac{45}{99}=\frac{5}{11}$.

17. కార్డు 17

    ప్రశ్న

    Convert 0.08(3) to a fraction in simplest form (parentheses repeat).

    సమాధానం

    $\frac{1}{12}$. Two non-repeating places require $1000x-100x=83-8=75$. Hence $x=\frac{75}{900}=\frac{1}{12}$.

18. కార్డు 18

    ప్రశ్న

    In 0.6(12), a learner says the repeating block is 612 (parentheses repeat). What is the correct block?

    సమాధానం

    The repeating block is 12. The first 6 is outside the parentheses and occurs before repetition begins; it is not part of the block.

19. కార్డు 19

    ప్రశ్న

    Convert 0.2(09) to a fraction in simplest form (parentheses repeat).

    సమాధానం

    $\frac{23}{110}$. Keep the zero in the two-digit block: $1000x-10x=209-2=207$, so $x=\frac{207}{990}=\frac{23}{110}$.

20. కార్డు 20

    ప్రశ్న

    For a repeating block of $m$ digits starting immediately after the decimal point, what coefficient of $x$ results from $10^m x-x$?

    సమాధానం

    $10^m-1$. This is a string of $m$ nines, the denominator before simplifying the resulting fraction.

21. కార్డు 21

    ప్రశ్న

    Convert 0.(315) to a fraction in simplest form (parentheses repeat).

    సమాధానం

    $\frac{35}{111}$. Subtraction gives $999x=315$, so $x=\frac{315}{999}=\frac{35}{111}$.

22. కార్డు 22

    ప్రశ్న

    For $x=0.24(7)$ (parentheses repeat), what equation remains after subtracting $100x$ from $1000x$?

    సమాధానం

    $900x=223$. The tails match in $247.\overline{7}-24.\overline{7}$, leaving $247-24=223$.

23. కార్డు 23

    ప్రశ్న

    Convert 0.6(4) to a fraction in simplest form (parentheses repeat).

    సమాధానం

    $\frac{29}{45}$. Subtract to get $100x-10x=64-6=58$, then simplify $\frac{58}{90}$ to $\frac{29}{45}$.

24. కార్డు 24

    ప్రశ్న

    For $x=0.(58)$ (parentheses repeat), a learner uses $10x-x$ to cancel the recurring tail. Which smallest power of ten greater than 10 should multiply $x$ instead?

    సమాధానం

    $100$. The fractional tails of $10x=5.\overline{85}$ and $x=0.\overline{58}$ do not match; $100x=58.\overline{58}$ fixes that.

25. కార్డు 25

    ప్రశ్న

    Convert 0.03(18) to a fraction in simplest form (parentheses repeat).

    సమాధానం

    $\frac{7}{220}$. Use $10000x-100x=318-3=315$, so $x=\frac{315}{9900}=\frac{7}{220}$.

26. కార్డు 26

    ప్రశ్న

    Write $\frac{7}{15}$ as a decimal, marking the shortest repeating block.

    సమాధానం

    $0.4\overline{6}$: only the 6 repeats. Check that $\frac{46-4}{90}=\frac{42}{90}=\frac{7}{15}$.

27. కార్డు 27

    ప్రశ్న

    Convert 2.(4) to a fraction in simplest form (parentheses repeat).

    సమాధానం

    $\frac{22}{9}$. With $x=2.\overline{4}$, $10x-x=24.\overline{4}-2.\overline{4}=22$.

28. కార్డు 28

    ప్రశ్న

    For $x=0.5(27)$ (parentheses repeat), what integer remains on the right of $1000x-10x$?

    సమాధానం

    $522$. Subtract $527.\overline{27}-5.\overline{27}$, so the integer difference is $527-5=522$.

29. కార్డు 29

    ప్రశ్న

    Convert 0.(018) to a fraction in simplest form (parentheses repeat).

    సమాధానం

    $\frac{2}{111}$. The three-digit block gives $999x=18$, so $x=\frac{18}{999}=\frac{2}{111}$.

30. కార్డు 30

    ప్రశ్న

    A learner replaces 0.(62) with 0.62 before finding its exact fraction (parentheses repeat). What exact fraction should they use?

    సమాధానం

    $\frac{62}{99}$. The finite value 0.62 equals $\frac{62}{100}$ and loses the repeating tail. Keep the decimal exact until the algebra is complete.

31. కార్డు 31

    ప్రశ్న

    Convert 1.2(7) to a fraction in simplest form (parentheses repeat).

    సమాధానం

    $\frac{23}{18}$. Use $100x-10x=127-12=115$, giving $x=\frac{115}{90}=\frac{23}{18}$.

32. కార్డు 32

    ప్రశ్న

    Convert 0.41(06) to a fraction in simplest form (parentheses repeat).

    సమాధానం

    $\frac{271}{660}$. Use $10000x-100x=4106-41=4065$, so $x=\frac{4065}{9900}=\frac{271}{660}$.

33. కార్డు 33

    ప్రశ్న

    A learner converts 0.(63) to 63/99 but is asked for simplest form (parentheses repeat). What should the final fraction be?

    సమాధానం

    $\frac{7}{11}$. Divide both 63 and 99 by their greatest common divisor, 9.

34. కార్డు 34

    ప్రశ్న

    A decimal has two non-repeating digits after the point and a three-digit repeating block. What denominator does the standard shift-subtract method give before simplification?

    సమాధానం

    $99900$. Use $100000x-100x$, giving $100000-100=99900$. There are three nines followed by two zeros.

35. కార్డు 35

    ప్రశ్న

    Convert 0.05(2) to a fraction in simplest form (parentheses repeat).

    సమాధానం

    $\frac{47}{900}$. Use $1000x-100x=52-5=47$. The leading zero still counts as a non-repeating decimal place.

36. కార్డు 36

    ప్రశ్న

    Write $\frac{13}{33}$ as a decimal, marking the shortest repeating block.

    సమాధానం

    $0.\overline{39}$: the block 39 repeats. Check by scaling to $\frac{39}{99}$.

37. కార్డు 37

    ప్రశ్న

    For 0.(002), how many digits must be counted in the repeating block when choosing a power of ten (parentheses repeat)?

    సమాధానం

    Three digits, including both zeros. Multiplying by $1000$ aligns a complete block; the fraction is $\frac{2}{999}$.

38. కార్డు 38

    ప్రశ్న

    Convert 3.0(81) to a fraction in simplest form (parentheses repeat).

    సమాధానం

    $\frac{339}{110}$. Use $1000x-10x=3081-30=3051$, so $x=\frac{3051}{990}=\frac{339}{110}$.

39. కార్డు 39

    ప్రశ్న

    What exact value equals 0.(9), where the 9 repeats forever?

    సమాధానం

    $1$. With $x=0.\overline{9}$, $10x-x=9$, so $9x=9$ and $x=1$. This is equality, not rounding.

40. కార్డు 40

    ప్రశ్న

    Convert 0.18(24) to a fraction in simplest form (parentheses repeat).

    సమాధానం

    $\frac{301}{1650}$. Use $10000x-100x=1824-18=1806$, then simplify $\frac{1806}{9900}$ by 6.

41. కార్డు 41

    ప్రశ్న

    Do 0.(23) and 0.(2323) represent the same value (parentheses repeat)?

    సమాధానం

    Yes. Both repeat the same digits forever; the shortest block is 23. Using either block length gives an equivalent fraction.

42. కార్డు 42

    ప్రశ్న

    Convert 0.9(14) to a fraction in simplest form (parentheses repeat).

    సమాధానం

    $\frac{181}{198}$. Use $1000x-10x=914-9=905$, so $x=\frac{905}{990}=\frac{181}{198}$.

43. కార్డు 43

    ప్రశ్న

    Why does the shift-subtract method show that every recurring decimal is rational?

    సమాధానం

    It produces an equation $Nx=M$ with integers $M$ and nonzero $N$, so $x=\frac{M}{N}$. Matching tails make $M$ an integer; the two different powers of ten make $N$ nonzero.

44. కార్డు 44

    ప్రశ్న

    A learner aligns repeating tails, then writes $1000x-10x=1010x$. What should replace $1010x$?

    సమాధానం

    $990x$. Subtract the coefficients: $1000-10=990$. Matching the tails does not change the subtraction on the left.

45. కార్డు 45

    ప్రశ్న

    Convert 0.07(05) to a fraction in simplest form (parentheses repeat).

    సమాధానం

    $\frac{349}{4950}$. Two prefix places and two block places give $10000x-100x=705-7=698$, so $x=\frac{698}{9900}=\frac{349}{4950}$.

46. కార్డు 46

    ప్రశ్న

    Write $\frac{11}{18}$ as a decimal, marking the shortest repeating block.

    సమాధానం

    $0.6\overline{1}$: only the 1 repeats. Check that $\frac{61-6}{90}=\frac{55}{90}=\frac{11}{18}$.

46 కార్డులు

Recurring Decimals to Fractions Flashcards: Patterns & Algebra

ఈ డెక్‌ను ఉచితంగా అధ్యయనం చేయండి

అధ్యయనం మొదలుపెట్టడానికి Nibomo తెరుచుకుంటుంది.