Recurring Decimals to Fractions Flashcards: Patterns & Algebra

Картки в цій колоді

1. Картка 1

   Питання

   In 0.2(41), where parentheses repeat forever, which digits repeat?

   Відповідь

   The block 41 repeats; the first 2 does not. The decimal begins 0.2414141 and continues with 41 forever.

2. Картка 2

   Питання

   For $x=0.(8)$ (parentheses repeat), what is the smallest power of ten greater than 1 that makes the fractional tail match that of $x$?

   Відповідь

   $10$. Shifting one place gives $10x=8.\overline{8}$, with the same fractional tail as $x$.

3. Картка 3

   Питання

   Convert 0.(5) to a fraction in simplest form (parentheses repeat).

   Відповідь

   $\frac{5}{9}$. With $x=0.\overline{5}$, subtracting $x$ from $10x$ gives $9x=5$.

4. Картка 4

   Питання

   Why can subtracting two shifted recurring decimals remove all digits after the decimal point?

   Відповідь

   Their entire fractional parts are equal, so their difference is zero. Match both the repeating block and its starting position before subtracting.

5. Картка 5

   Питання

   Convert 0.(27) to a fraction in simplest form (parentheses repeat).

   Відповідь

   $\frac{3}{11}$. With $x=0.\overline{27}$, $100x-x=27$, so $x=\frac{27}{99}=\frac{3}{11}$.

6. Картка 6

   Питання

   Convert 0.(04) to a fraction in simplest form (parentheses repeat).

   Відповідь

   $\frac{4}{99}$. The block has two digits, including the zero: $100x-x=4$, so $99x=4$.

7. Картка 7

   Питання

   Is the finite decimal 0.454545 exactly equal to 0.(45), where parentheses repeat forever?

   Відповідь

   No. The finite decimal stops after six places; the recurring decimal continues. Their difference is small but nonzero.

8. Картка 8

   Питання

   Convert 0.(136) to a fraction in simplest form (parentheses repeat).

   Відповідь

   $\frac{136}{999}$. Three repeating places give $1000x-x=136$. The numerator and denominator have no common factor greater than 1.

9. Картка 9

   Питання

   For $x=0.3(7)$ (parentheses repeat), which two smallest distinct powers of ten produce matching fractional tails after clearing the non-repeating prefix?

   Відповідь

   $100x$ and $10x$. They equal $37.\overline{7}$ and $3.\overline{7}$; subtracting cancels the repeating tail.

10. Картка 10

    Питання

    Convert 0.(72) to a fraction in simplest form (parentheses repeat).

    Відповідь

    $\frac{8}{11}$. Subtraction gives $99x=72$, then $x=\frac{72}{99}=\frac{8}{11}$.

11. Картка 11

    Питання

    Convert 0.4(2) to a fraction in simplest form (parentheses repeat).

    Відповідь

    $\frac{19}{45}$. With $x=0.4\overline{2}$, $100x-10x=42-4=38$, so $x=\frac{38}{90}=\frac{19}{45}$.

12. Картка 12

    Питання

    A learner writes 0.(06) as 6/9 (parentheses repeat). What denominator should replace 9 before simplification?

    Відповідь

    $99$. The repeating block is 06, which has two places. Thus $0.\overline{06}=\frac{6}{99}$, not $\frac{6}{9}$.

13. Картка 13

    Питання

    Convert 0.(125) to a fraction in simplest form (parentheses repeat).

    Відповідь

    $\frac{125}{999}$. Subtraction gives $999x=125$. This fraction is already in simplest form.

14. Картка 14

    Питання

    A decimal has one non-repeating digit after the point followed by a two-digit repeating block. What denominator does the standard shift-subtract method give before simplification?

    Відповідь

    $990$. Use $1000x-10x$, so the coefficient of $x$ is $1000-10=990$.

15. Картка 15

    Питання

    Convert 0.7(36) to a fraction in simplest form (parentheses repeat).

    Відповідь

    $\frac{81}{110}$. The matching-tail subtraction is $1000x-10x=736-7=729$. Thus $x=\frac{729}{990}=\frac{81}{110}$.

16. Картка 16

    Питання

    Write $\frac{5}{11}$ as a decimal, marking the shortest repeating block.

    Відповідь

    $0.\overline{45}$: the block 45 repeats. Check that $\frac{45}{99}=\frac{5}{11}$.

17. Картка 17

    Питання

    Convert 0.08(3) to a fraction in simplest form (parentheses repeat).

    Відповідь

    $\frac{1}{12}$. Two non-repeating places require $1000x-100x=83-8=75$. Hence $x=\frac{75}{900}=\frac{1}{12}$.

18. Картка 18

    Питання

    In 0.6(12), a learner says the repeating block is 612 (parentheses repeat). What is the correct block?

    Відповідь

    The repeating block is 12. The first 6 is outside the parentheses and occurs before repetition begins; it is not part of the block.

19. Картка 19

    Питання

    Convert 0.2(09) to a fraction in simplest form (parentheses repeat).

    Відповідь

    $\frac{23}{110}$. Keep the zero in the two-digit block: $1000x-10x=209-2=207$, so $x=\frac{207}{990}=\frac{23}{110}$.

20. Картка 20

    Питання

    For a repeating block of $m$ digits starting immediately after the decimal point, what coefficient of $x$ results from $10^m x-x$?

    Відповідь

    $10^m-1$. This is a string of $m$ nines, the denominator before simplifying the resulting fraction.

21. Картка 21

    Питання

    Convert 0.(315) to a fraction in simplest form (parentheses repeat).

    Відповідь

    $\frac{35}{111}$. Subtraction gives $999x=315$, so $x=\frac{315}{999}=\frac{35}{111}$.

22. Картка 22

    Питання

    For $x=0.24(7)$ (parentheses repeat), what equation remains after subtracting $100x$ from $1000x$?

    Відповідь

    $900x=223$. The tails match in $247.\overline{7}-24.\overline{7}$, leaving $247-24=223$.

23. Картка 23

    Питання

    Convert 0.6(4) to a fraction in simplest form (parentheses repeat).

    Відповідь

    $\frac{29}{45}$. Subtract to get $100x-10x=64-6=58$, then simplify $\frac{58}{90}$ to $\frac{29}{45}$.

24. Картка 24

    Питання

    For $x=0.(58)$ (parentheses repeat), a learner uses $10x-x$ to cancel the recurring tail. Which smallest power of ten greater than 10 should multiply $x$ instead?

    Відповідь

    $100$. The fractional tails of $10x=5.\overline{85}$ and $x=0.\overline{58}$ do not match; $100x=58.\overline{58}$ fixes that.

25. Картка 25

    Питання

    Convert 0.03(18) to a fraction in simplest form (parentheses repeat).

    Відповідь

    $\frac{7}{220}$. Use $10000x-100x=318-3=315$, so $x=\frac{315}{9900}=\frac{7}{220}$.

26. Картка 26

    Питання

    Write $\frac{7}{15}$ as a decimal, marking the shortest repeating block.

    Відповідь

    $0.4\overline{6}$: only the 6 repeats. Check that $\frac{46-4}{90}=\frac{42}{90}=\frac{7}{15}$.

27. Картка 27

    Питання

    Convert 2.(4) to a fraction in simplest form (parentheses repeat).

    Відповідь

    $\frac{22}{9}$. With $x=2.\overline{4}$, $10x-x=24.\overline{4}-2.\overline{4}=22$.

28. Картка 28

    Питання

    For $x=0.5(27)$ (parentheses repeat), what integer remains on the right of $1000x-10x$?

    Відповідь

    $522$. Subtract $527.\overline{27}-5.\overline{27}$, so the integer difference is $527-5=522$.

29. Картка 29

    Питання

    Convert 0.(018) to a fraction in simplest form (parentheses repeat).

    Відповідь

    $\frac{2}{111}$. The three-digit block gives $999x=18$, so $x=\frac{18}{999}=\frac{2}{111}$.

30. Картка 30

    Питання

    A learner replaces 0.(62) with 0.62 before finding its exact fraction (parentheses repeat). What exact fraction should they use?

    Відповідь

    $\frac{62}{99}$. The finite value 0.62 equals $\frac{62}{100}$ and loses the repeating tail. Keep the decimal exact until the algebra is complete.

31. Картка 31

    Питання

    Convert 1.2(7) to a fraction in simplest form (parentheses repeat).

    Відповідь

    $\frac{23}{18}$. Use $100x-10x=127-12=115$, giving $x=\frac{115}{90}=\frac{23}{18}$.

32. Картка 32

    Питання

    Convert 0.41(06) to a fraction in simplest form (parentheses repeat).

    Відповідь

    $\frac{271}{660}$. Use $10000x-100x=4106-41=4065$, so $x=\frac{4065}{9900}=\frac{271}{660}$.

33. Картка 33

    Питання

    A learner converts 0.(63) to 63/99 but is asked for simplest form (parentheses repeat). What should the final fraction be?

    Відповідь

    $\frac{7}{11}$. Divide both 63 and 99 by their greatest common divisor, 9.

34. Картка 34

    Питання

    A decimal has two non-repeating digits after the point and a three-digit repeating block. What denominator does the standard shift-subtract method give before simplification?

    Відповідь

    $99900$. Use $100000x-100x$, giving $100000-100=99900$. There are three nines followed by two zeros.

35. Картка 35

    Питання

    Convert 0.05(2) to a fraction in simplest form (parentheses repeat).

    Відповідь

    $\frac{47}{900}$. Use $1000x-100x=52-5=47$. The leading zero still counts as a non-repeating decimal place.

36. Картка 36

    Питання

    Write $\frac{13}{33}$ as a decimal, marking the shortest repeating block.

    Відповідь

    $0.\overline{39}$: the block 39 repeats. Check by scaling to $\frac{39}{99}$.

37. Картка 37

    Питання

    For 0.(002), how many digits must be counted in the repeating block when choosing a power of ten (parentheses repeat)?

    Відповідь

    Three digits, including both zeros. Multiplying by $1000$ aligns a complete block; the fraction is $\frac{2}{999}$.

38. Картка 38

    Питання

    Convert 3.0(81) to a fraction in simplest form (parentheses repeat).

    Відповідь

    $\frac{339}{110}$. Use $1000x-10x=3081-30=3051$, so $x=\frac{3051}{990}=\frac{339}{110}$.

39. Картка 39

    Питання

    What exact value equals 0.(9), where the 9 repeats forever?

    Відповідь

    $1$. With $x=0.\overline{9}$, $10x-x=9$, so $9x=9$ and $x=1$. This is equality, not rounding.

40. Картка 40

    Питання

    Convert 0.18(24) to a fraction in simplest form (parentheses repeat).

    Відповідь

    $\frac{301}{1650}$. Use $10000x-100x=1824-18=1806$, then simplify $\frac{1806}{9900}$ by 6.

41. Картка 41

    Питання

    Do 0.(23) and 0.(2323) represent the same value (parentheses repeat)?

    Відповідь

    Yes. Both repeat the same digits forever; the shortest block is 23. Using either block length gives an equivalent fraction.

42. Картка 42

    Питання

    Convert 0.9(14) to a fraction in simplest form (parentheses repeat).

    Відповідь

    $\frac{181}{198}$. Use $1000x-10x=914-9=905$, so $x=\frac{905}{990}=\frac{181}{198}$.

43. Картка 43

    Питання

    Why does the shift-subtract method show that every recurring decimal is rational?

    Відповідь

    It produces an equation $Nx=M$ with integers $M$ and nonzero $N$, so $x=\frac{M}{N}$. Matching tails make $M$ an integer; the two different powers of ten make $N$ nonzero.

44. Картка 44

    Питання

    A learner aligns repeating tails, then writes $1000x-10x=1010x$. What should replace $1010x$?

    Відповідь

    $990x$. Subtract the coefficients: $1000-10=990$. Matching the tails does not change the subtraction on the left.

45. Картка 45

    Питання

    Convert 0.07(05) to a fraction in simplest form (parentheses repeat).

    Відповідь

    $\frac{349}{4950}$. Two prefix places and two block places give $10000x-100x=705-7=698$, so $x=\frac{698}{9900}=\frac{349}{4950}$.

46. Картка 46

    Питання

    Write $\frac{11}{18}$ as a decimal, marking the shortest repeating block.

    Відповідь

    $0.6\overline{1}$: only the 1 repeats. Check that $\frac{61-6}{90}=\frac{55}{90}=\frac{11}{18}$.

46 карток

Recurring Decimals to Fractions Flashcards: Patterns & Algebra

Вивчати цю колоду безкоштовно

Відкриється Nibomo, і ви зможете почати навчання.