高考数学导数公式与题型闪卡：单调性、极值与切线

Question 1

函数 f 在 x_0 处的导数定义式？

Accepted Answer

若极限存在，导数为：

f'(x_0)=\lim_{\Delta x	o0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}

Question 2

简单复合函数 f(ax+b) 怎样求导？

Accepted Answer

[f(ax+b)]'=a f'(ax+b)。先对外层求导，再乘内层 ax+b 的导数 a。

Question 3

(\sin x)' 是什么？

Accepted Answer

(\sin x)'=\cos x。这里的角度使用弧度制。

Question 4

乘积 uv 怎样求导？

Accepted Answer

(uv)'=u'v+uv'。不能写成 u'v'。

Question 5

(e^x)' 是什么？

Accepted Answer

(e^x)'=e^x。它的导数仍是自身。

Question 6

幂函数 x^n 的导数？

Accepted Answer

(x^n)'=nx^{n-1}，在原函数有定义且可导的范围内使用。

Question 7

求导或列导数符号表之前，第一步检查什么？

Accepted Answer

先写原函数的定义域。分母、根式和对数会切断区间，也会限制临界点是否有效。

Question 8

题目给出的“切点”坐标要先核对什么？

Accepted Answer

核对它确实在曲线上，即 y_0=f(x_0)。不在曲线上的给定点通常只是切线经过的外点。

Question 9

f(x)=x^2e^x 的导数？

Accepted Answer

f'(x)=e^x(x^2+2x)。由乘积法则得 2xe^x+x^2e^x。

Question 10

函数在一点可导，能推出什么连续性结论？

Accepted Answer

可导必连续。反过来不成立，例如 f(x)=|x| 在 0 处连续但不可导。

Question 11

\sin(2x+1) 求导时应识别哪条规则？

Accepted Answer

简单复合函数求导。结果是 2\cos(2x+1)，内层导数 2 必须乘上。

Question 12

(\ln x)' 是什么？

Accepted Answer

(\ln x)'=\frac1x，条件是 x>0。

Question 13

商 \frac{u}{v} 怎样求导？

Accepted Answer

\left(\frac{u}{v}ight)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}，并且 v
e0。分子次序不要颠倒。

Question 14

f'(x_0) 在几何上表示什么？

Accepted Answer

曲线 y=f(x) 在点 (x_0,f(x_0)) 处切线的斜率，前提是该点可导。

Question 15

指数与对数求导公式中的底数 a 要满足什么条件？

Accepted Answer

a>0 且 a
e1。这样 a^x 与 \log_a x 都按高中基本函数约定成立。

Question 16

f(x)=(3x-2)^5 的导数？

Accepted Answer

f'(x)=15(3x-2)^4。外层给出 5(3x-2)^4，再乘内层导数 3。

Question 17

f(x)=\frac{\ln x}{x} 的导数？

Accepted Answer

f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}，定义域为 x>0。

Question 18

求出 f'(x) 后，进入函数性质分析前检查哪三件事？

Accepted Answer

检查定义域、化简或因式分解、以及求导规则中的条件。这样才能正确找分界点并判断符号。

Question 19

局部极值与区间最值有什么区别？

Accepted Answer

局部极值只比较某点附近；最大值、最小值要比较整个指定区间。局部极大值不一定是区间最大值。

Question 20

和差与常数倍怎样求导？

Accepted Answer

(u\pm v)'=u'\pm v'，(Cu)'=Cu'。先逐项求导，再保留原来的线性组合。

Question 21

在区间 I 上有 f'(x)>0，可得什么单调性？

Accepted Answer

f 在 I 上严格递增。若 f'(x)<0，则严格递减。

Question 22

(\cos x)' 是什么？

Accepted Answer

(\cos x)'=-\sin x。负号不能漏，角度使用弧度制。

Question 23

(a^x)' 是什么？

Accepted Answer

(a^x)'=a^x\ln a。高中指数函数通常取 a>0 且 a
e1。

Question 24

连续函数在闭区间上一定有什么最值结论？

Accepted Answer

一定能取得最大值和最小值。这个结论保证最值存在，但具体位置仍需计算候选点。

Question 25

用导数列符号表的基本步骤？

Accepted Answer

写定义域，求并化简 f'，找 f'=0 或导数不存在的分界点，按顺序分区间判断正负。

Question 26

曲线在横坐标 x_0 处的切线斜率？

Accepted Answer

k=f'(x_0)。还要确认 x_0 在定义域内且函数在该点可导。

Question 27

\left(\frac1x\right)' 是什么？

Accepted Answer

\left(\frac1xight)'=-\frac1{x^2}，条件是 x
e0。

Question 28

“极值点”和“极值”分别指什么？

Accepted Answer

极值点通常指横坐标 x_0；极值指函数值 f(x_0)。答题时不要把点、横坐标和函数值混写。

Question 29

可导函数在内部点 x_0 取得极值，有什么必要条件？

Accepted Answer

f'(x_0)=0。这只是必要条件，不是充分条件。

Question 30

(\log_a x)' 是什么？

Accepted Answer

(\log_a x)'=\frac{1}{x\ln a}，其中 x>0、a>0 且 a
e1。

Question 31

f'(x)=(x-1)(x+2) 时，f 的单调区间？

Accepted Answer

递增区间为 (-\infty,-2)、(1,+\infty)，递减区间为 (-2,1)。符号顺序是正、负、正。

Question 32

曲线切线与直线 y=kx+b 平行时，应列什么条件？

Accepted Answer

f'(t)=k，其中 t 是切点横坐标。再用切点坐标求所需方程或参数。

Question 33

函数在 x_0 连续，并在 x_0 两侧的相邻开区间可导；一阶导数怎样判定极大值与极小值？

Accepted Answer

f' 在 x_0 左侧为正、右侧为负时，x_0 是极大值点；左侧为负、右侧为正时，x_0 是极小值点；两侧符号不变时不是极值点。

Question 34

切线经过给定点时，能直接用该点横坐标计算 f' 吗？

Accepted Answer

不能，除非该点已确认是切点。一般要另设切点 t，再用共点方程求解。

Question 35

定义域被断点分开时，单调区间怎样处理？

Accepted Answer

分别在每个连通区间判断，不能跨过不在定义域内的点合并单调区间。

Question 36

曲线 y=f(x) 在 x_0 处的切线方程？

Accepted Answer

切线方程是：

y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)

Question 37

求连续函数在闭区间 [a,b] 上的最值，候选值来自哪里？

Accepted Answer

来自区间内部的有效临界点和两个端点。算出这些函数值后统一比较。

Question 38

可导函数在区间上递增，对导数有什么必要条件？

Accepted Answer

f'(x)\ge0。递增不要求每一点都有 f'(x)>0，例如 x^3 在 0 处导数为零。

Question 39

同一函数有两个分开的递增区间，答案可写成它们的并集吗？

Accepted Answer

通常分别写两个递增区间，不用并集符号把它们说成一个单调区间。单调性是在单个区间内比较任意两点。

Question 40

y=x^2 在 x=1 处的切线方程？

Accepted Answer

y=2x-1。切点是 (1,1)，斜率是 f'(1)=2。

Question 41

f(x)=x^3-3x 的极值？

Accepted Answer

在 x=-1 处取极大值 2，在 x=1 处取极小值 -2。导数为 3(x-1)(x+1)。

Question 42

用导数研究单调、极值和闭区间最值的推荐顺序？

Accepted Answer

定义域 → 求导并分解 → 找分界点 → 列符号表 → 对不可导点检查连续性或直接比较点值 → 写单调与极值 → 加入端点比较最值。

Question 43

f'(x)\ge0 能否直接推出 f 严格递增？

Accepted Answer

只能先推出单调不减。若还知道 f 不在任何子区间上恒为常数，例如导数仅在孤立点取零，才可判严格递增。

Question 44

含参导数题开始分类前，先检查哪种退化？

Accepted Answer

先检查参数是否让最高次项、分母或关键因子消失。退化值会改变方程次数、定义域或分界点数量，必须单列。

Question 45

曲线在 t 处的切线经过外点 (x_P,y_P)，核心方程？

Accepted Answer

y_P-f(t)=f'(t)(x_P-t)。未知量是切点 t，不是直接把外点横坐标代入导数。

Question 46

(\sqrt{x})' 是什么？

Accepted Answer

(\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}，求导公式适用于 x>0；原函数在 x=0 有定义，但该点不可导。

Question 47

f' 的偶重零点通常怎样影响符号？

Accepted Answer

通常不改变符号。若分解后含 (x-a)^2 且其余因子在 a 附近不变号，a 不是由一阶导数判出的极值点。

Question 48

用导数证明函数在区间上单调，最短论证链是什么？

Accepted Answer

写明区间与可导性，求 f'，证明其在整个区间恒正或恒负，再给出严格递增或递减结论。

Question 49

证明 L(x)\ge R(x) 的常用导数入口？

Accepted Answer

构造 F(x)=L(x)-R(x)，再证明 F 的最小值不小于零。先找等号点，常能看出应研究的临界点。

Question 50

f(x)=x^2-2x 在 [0,3] 上的最大值与最小值？

Accepted Answer

最小值为 -1，在 x=1 处取得；最大值为 3，在 x=3 处取得。比较 f(0)=0、f(1)=-1、f(3)=3。

Question 51

切点横坐标未知、切线斜率已知时，先解什么方程？

Accepted Answer

先解 f'(t)=k。每个有效解 t 都要回代点斜式，可能得到不止一条切线。

Question 52

临界点一定是极值点吗？

Accepted Answer

不一定。临界点是函数定义域内使 f'=0 或导数不存在的点；它只是极值候选点，应直接比较点值与附近函数值；若该点连续，也可检查两侧单调性。

Question 53

二次式 q(x)=Ax^2+Bx+C 对所有实数恒非负的条件？

Accepted Answer

若 A>0，需 \Delta=B^2-4AC\le0；退化时还可有 A=B=0 且 C\ge0。其余一次或开口向下情形不能恒非负。

Question 54

怎样用单调性证明方程 F(x)=0 至多一根？

Accepted Answer

证明 F 在目标区间严格单调。严格单调函数不可能在两个不同点都取零。

Question 55

构造不等式辅助函数时，等号点有什么用？

Accepted Answer

等号点通常应让辅助函数取零，并常对应导数为零的最值点。用它校准作差方向和待证最值。

Question 56

f'(x_0)=0 是否足以说明 x_0 是极值点？

Accepted Answer

不足。例如 f(x)=x^3 有 f'(0)=0，但导数在 0 两侧都非负，0 不是极值点。

Question 57

参数变化使导数方程出现重根时，为什么常是分类边界？

Accepted Answer

重根对应两个分界点合并，导数符号结构可能从“两次变号”变成“不变号”。因此判别式为零或根重合要单独检查。

Question 58

常数函数 f(x)=C 的导数？

Accepted Answer

f'(x)=0。常数不随 x 变化，瞬时变化率为零。

Question 59

函数图象有一条切线，能否直接断言图象总在切线同一侧？

Accepted Answer

不能。相切只给局部共点同斜率；全局大小关系还要对两式作差，再用单调性或最值证明。

Question 60

怎样用极值结构判断方程 f(x)=c 的实根个数？

Accepted Answer

先求 f 的单调区间和极值，再比较水平线 y=c 与各段值域。根数等于有效交点数。

Question 61

闭区间端点会成为最大值或最小值候选吗？

Accepted Answer

会。端点不需要满足 f'=0，但必须与区间内部候选点的函数值一起比较。

Question 62

f'(x)=(x-2)^2 的符号能说明什么？

Accepted Answer

f 在全体实数上严格递增；f'(2)=0，但导数在 2 两侧都为正，所以 x=2 不是极值点。

Question 63

两条非竖直直线垂直时，斜率满足什么关系？

Accepted Answer

k_1k_2=-1。用于切线题时先写 f'(t)k=-1，并留意竖直线等特殊情况。

Question 64

f_a(x)=g(x)-a 的零点问题可怎样看参数 a？

Accepted Answer

把它改写成 g(x)=a，即水平线 y=a 与 y=g(x) 的交点问题。先求 g 的值域和极值。

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